Question

（本題滿分14分）設為非負實數，函數.
（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；
（Ⅱ）討論函數的零點個數，并求出零點．

Answer 1

（Ⅰ）的單調遞增區間是和，單調遞減區間是
（Ⅱ）當時，函數的零點為；
當時，函數有一個零點，且零點為；
當時，有兩個零點和；
當時，函數有三個零點和.

試題分析：（Ⅰ）當時，，          ……2分
①當時，，∴在上單調遞增；
② 當時，，
∴在上單調遞減，在上單調遞增；
綜上所述，的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.     ……6分
（Ⅱ）（1）當時，，函數的零點為；
（2）當時，，
故當時，，二次函數對稱軸，
∴在上單調遞增，；
當時，，二次函數對稱軸，
∴在上單調遞減，在上單調遞增；
∴的極大值為，
 當，即時，函數與軸只有唯一交點，即唯一零點，
由解之得
函數的零點為或（舍去）；
 當，即時，函數與軸有兩個交點，即兩個零點，分別為和；
 當，即時，函數與軸有三個交點，即有三個零點，
由解得，，
∴函數的零點為和.
綜上可得，當時，函數的零點為；
當時，函數有一個零點，且零點為；
當時，有兩個零點和；
當時，函數有三個零點和.                    ……14分
點評：判斷函數的單調性可以用單調性的定義并結合常見函數的單調性，二此函數判斷單調性要結合二次函數的圖象，分類討論時要做到不重不漏.