Question

（本題滿分16分）

對于數列，如果存在一個正整數，使得對任意的（）都有成立，那么就把這樣一類數列稱作周期為的周期數列，的最小值稱作數列的最小正周期，以下簡稱周期.例如當時是周期為的周期數列，當時是周期為的周期數列.

（1）設數列滿足（），（不同時為0），求證：數列是周期為的周期數列，并求數列的前2012項的和；

（2）設數列的前項和為，且.

①若，試判斷數列是否為周期數列，并說明理由；

②若，試判斷數列是否為周期數列，并說明理由；

（3）設數列滿足（），，，數列的前項和為，試問是否存在實數，使對任意的都有成立，若存在，求出的取值范圍；不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：又，

所以是周期為6的周期數列，………………2分

.

所以.………4分

解：（2）當時，，又得.………6分

當時,

，

即或.…………6分

①由有，則為等差數列，即，

由于對任意的都有，所以不是周期數列.…………8分

②由有，數列為等比數列，即，

存在使得對任意都成立，

即當時是周期為2的周期數列.…………10分

（3）假設存在，滿足題設.

于是又即，

所以是周期為6的周期數列，的前6項分別為，…12分

則（），……14分

當時，，

當時，，

當時，，

當時，，

所以，為使恒成立，只要，即可，

綜上，假設存在，滿足題設，，.……16分

【解析】略