Question

【題目】已知函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在，使得，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）函數(shù)求導(dǎo)后對 分類討論即可得解；（2）由，知，原不等式可轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，，分別利用導(dǎo)數(shù)求其最大值與最小值即可.

（1），，

①當(dāng)時，，于是令得，令得，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，

②當(dāng)時，令，∴或，

當(dāng)時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，

當(dāng)時，，當(dāng)，時，；當(dāng)時，，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是.

當(dāng)時，，當(dāng)，時，；當(dāng)時，，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,,單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）因?yàn)?/span>，∴，∴，

即證，

設(shè)，∴，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.

令，∴，

所以函數(shù)在上為增函數(shù)，

所以，

即，

由此得，

即.