Question

【題目】如圖，已知梯形中，，，，四邊形為矩形，，平面平面．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（I）見解析（II）（III）

【解析】試題

（Ⅰ）取為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，由題意可得平面的法向量，且，據此有，則平面．

（Ⅱ）由題意可得平面的法向量，結合(Ⅰ)的結論可得，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．

（Ⅲ）設，，則，而平面的法向量，據此可得，解方程有或．據此計算可得．

試題解析：

（Ⅰ）取為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，∴，，

設平面的法向量，∴不妨設，又，

∴，∴，又∵平面，∴平面．

（Ⅱ）∵，，設平面的法向量，

∴不妨設，∴，

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為．

（Ⅲ）設 ，，∴，

∴，又∵平面的法向量，

∴，∴，∴或．

當時，，∴；當時，，∴．

綜上，．