Question

【題目】已知三棱錐中，為等腰直角三角形，，平面，且，且，分別為的中點．

（1）求證：直線平面；

（2）求銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）設的中點為，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，即可由線線平行推證線面平行；

（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求得兩個平面的法向量，由法向量的夾角與二面角平面角的關系，即可容易求得結果.

（1）設的中點為，連接，

則，，

又且，

且，

四邊形為平行四邊形，

，又平面，平面，

平面．即證.

（2）因為，且平面，

又平面，

故可得，

故以為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系

如下圖所示：

令，

則，，，，，，

，，，

，，

，．

，平面，

平面的一個法向量為．

設平面的一個法向量為，

則由，即

令，則，，，

，

由圖知二面角為銳角，

二面角的余弦值為．