【題目】已知函數
，
.
（1）判斷函數
在區間
上的零點的個數；
（2）記函數
在區間上的兩個極值點分別為
、
，求證：
.
【答案】（1）
；（2）見解析.
【解析】
（1）利用導數分析函數
在區間
上的單調性與極值，結合零點存在定理可得出結論；
（2）設函數的極大值點和極小值點分別為
、
，由（1）知
，
，且滿足
，
，于是得出
，由
得
，利用正切函數的單調性推導出
，再利用正弦函數的單調性可得出結論.
（1）
，
，
，當
時，
，
，
，則函數
在
上單調遞增；
當
時，
，
，
，則函數在
上單調遞減；
當
時，，，，則函數在
上單調遞增.
，
，
，
，
.
所以，函數在與
不存在零點，在區間
和上各存在一個零點.
綜上所述，函數在區間上的零點的個數為；
（2）
，
.
由（1）得，
在區間與上存在零點，
所以，函數在區間與上各存在一個極值點、，且，，
且滿足
即，，
，
又
，
即，
，
，，
，
由
在
上單調遞增，得，
再由
在上單調遞減，得
，即
.
培優三好生系列答案
優化作業上海科技文獻出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠為生產一種精密管件研發了一臺生產該精密管件的車床，該精密管件有內外兩個口徑，監管部門規定“口徑誤差”的計算方式為：管件內外兩個口徑實際長分別為
，標準長分別為
則“口徑誤差”為
只要“口徑誤差”不超過
就認為合格，已知這臺車床分晝夜兩個獨立批次生產．工廠質檢部在兩個批次生產的產品中分別隨機抽取40件作為樣本，經檢測其中晝批次的40個樣本中有4個不合格品，夜批次的40個樣本中有10個不合格品．
（Ⅰ）以上述樣本的頻率作為概率，在晝夜兩個批次中分別抽取2件產品，求其中恰有1件不合格產品的概率；
（Ⅱ）若每批次各生產1000件，已知每件產品的成本為5元，每件合格品的利潤為10元；若對產品檢驗，則每件產品的檢驗費用為2.5元；若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對用戶賠償，這時生產的每件不合格品工廠要損失25元．以上述樣本的頻率作為概率，以總利潤的期望值為決策依據，分析是否要對每個批次的所有產品作檢測？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左右焦點分別為
，左頂點為
，且
，
是橢圓上一點．
（1）求橢圓
的方程；
（2）若直線
與橢圓交于
兩點，直線
別與
軸交于點
，求證：在
軸上存在點
，使得無論非零實數
怎樣變化，以
為直徑的圓都必過點，并求出點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
以拋物線
的焦點為頂點，且離心率為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）若直線
與橢圓相交于
、
兩點，與直線
相交于
點，
是橢圓上一點且滿足
（其中
為坐標原點），試問在
軸上是否存在一點
，使得
為定值？若存在，求出點的坐標及的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知三棱錐P－ABC中，PA平面ABC，ABAC，且PA＝l，AB＝AC＝2，點D滿足
，
.
（1）當
，求二面角P－BD－C的余弦值；
（2）若直線PC與平面PBD所成角的正弦值為
，求
的值.
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