Question

【題目】設(shè)，函數(shù)．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（Ⅱ）已知（是自然對數(shù)的底數(shù)）和是函數(shù)的兩個不同的零點，求的值并證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）①當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，無極值，②當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間是，函數(shù)的極大值為；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

試題（Ⅰ）分別令及分情況討論；（Ⅱ）由已知得，由（Ⅰ）函數(shù)在遞減及，，可知函數(shù)在區(qū)間有唯一零點，由此得證.

試題解析：（Ⅰ）由已知得，，

①若，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，無極值；

②若，令，得，

在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)，

在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)，

所以在區(qū)間上，的極大值為．

綜上所述，①當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，無極值；②當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間是，函數(shù)的極大值為．

（Ⅱ）因為，所以，解得，所以，

又，，所以，

由（Ⅰ）函數(shù)在遞減，故函數(shù)在區(qū)間有唯一零點，因此．