Question

在三角形ABC中，已知2

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|，設∠CAB=α，
（1）求角α的值；
（2）若cos(β-α)=

4 3

7

，其中β∈(

π

3

，

5π

6

)，求cosβ的值．

Answer 1

分析：（1）根據向量之間的關系，把向量的數量積用公式表示出來，兩邊比較，得到角的余弦值，根據角的范圍，確定角的值．
（2）根據角α和角β-α的函數值和角的范圍，把要求的角變化為兩個已知角的關系，解題過程中需要的角的三角函數值，結合角的范圍求出，本題的關鍵是角的變換．

解答：解：（1）∵2

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|，
∴2|

AB

|•|

AC

|cosα=|

AB

|•|

AC

|
∴cosα=

1

2

，
∵0＜α＜π為三角形ABC的內角，
∴α=

π

3

，
（2）由（1）知：sinα=

3

2

，且β-α∈(0，

π

2

)，
∴sin(β-α)=

1

7

，
故cosβ=cos（β-α+α）=cos（β-α）cosα-sin（β-α）sinα
=

4 3

7

×

1

2

-

1

7

×

3

2

=

3 3

14

．

點評：本題表面上是對向量數量積的考查，根據兩個向量的夾角和模，用數量積列出式子，但是這步工作做完以后，題目的重心轉移到角的變換問題．注意解題過程中角的范圍．