Question

（1）已知圓S：x²+y²=a²（a＞0），直線l₁：y=k₁x+p交圓S于C、D兩點，交直線l₂：y=k₂x于E點，若k₁•k₂=-1，證明：E是CD的中點；
（2）已知橢圓，直線l₁：y=k₁x+p交橢圓T于C、D兩點，交直線l₂：y=k₂x于E點，若．問E是否是CD的中點，若是，請給出證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）聯立直線l₁，l₂的方程，聯立直線l₁與圓的方程，確定CD中點坐標，利用韋達定理，即可得到結論；
（2）聯立直線l₁，l₂的方程，聯立直線l₁與圓的方程，確定CD中點坐標，利用韋達定理，即可得到結論．
解答：證明：（1）若k₁•k₂=-1，則，與l₁：y=k₁x+p聯立解得．
將l₁：y=k₁x+p與S：x²+y²=a²（a＞0）聯立消去y，整理得，
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點為M（x，y），
則，
所以E與M重合，故E是CD的中點．            …（8分）
（2）證明：若，則，與l₁：y=k₁x+p聯立，解得．
將l₁：y=k₁x+p與聯立消去y，整理得
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點為M（x，y），
則，
所以E與M重合，故E是CD的中點．            …（16分）
點評：本題考查直線與直線，直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．