Question

（1）已知圓S：x²+y²=a²（a＞0），直線l₁：y=k₁x+p交圓S于C、D兩點，交直線l₂：y=k₂x于E點，若k₁•k₂=-1，證明：E是CD的中點；
（2）已知橢圓T：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，直線l₁：y=k₁x+p交橢圓T于C、D兩點，交直線l₂：y=k₂x于E點，若k1•k2=-

b2

a2

．問E是否是CD的中點，若是，請給出證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立直線l₁，l₂的方程，聯(lián)立直線l₁與圓的方程，確定CD中點坐標，利用韋達定理，即可得到結(jié)論；
（2）聯(lián)立直線l₁，l₂的方程，聯(lián)立直線l₁與圓的方程，確定CD中點坐標，利用韋達定理，即可得到結(jié)論．

解答：證明：（1）若k₁•k₂=-1，則l2：y=-

1

k1

x，與l₁：y=k₁x+p聯(lián)立解得xE=-

k1p

1+k12

．
將l₁：y=k₁x+p與S：x²+y²=a²（a＞0）聯(lián)立消去y，整理得(1+k12)x2+2k1px+p2-a2=0，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點為M（x₀，y₀），
則x0=

x1+x2

2

=

1

2

(-

2k1p

1+k12

)=-

k1p

1+k12

=xE，
所以E與M重合，故E是CD的中點．            …（8分）
（2）證明：若k1•k2=-

b2

a2

，則L2：y=-

b2

a2k1

x，與l₁：y=k₁x+p聯(lián)立，解得xE=-

a2k1p

b2+a2k12

．
將l₁：y=k₁x+p與T：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)聯(lián)立消去y，整理得(b2+a2k12)x2+2a2k1px+a2p2-a2b2=0
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點為M（x₀，y₀），
則x0=

x1+x2

2

=

1

2

(-

2a2k1p

b2+a2k12

)=-

a2k1p

b2+a2k12

=xE，
所以E與M重合，故E是CD的中點．            …（16分）

點評：本題考查直線與直線，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．