Question

己知

a

、

b

為平面上兩個不共線的向量，p：|

a

+2

b

|=|

a

-2

b

|；q：

a

⊥

b

，則p是q的（　　）

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、既不充分也不必要條件
• D、充要條件

Answer 1

分析：利用向量垂直的充要條件及向量模的平方等于向量的平方，先判斷由p是否推出q成立；再判斷由q能否推出p成立；利用充要條件的定義得到結(jié)論．

解答：解：若命題p成立
則有

a

2+4

a

•

b

+4

b

2=

a

2-4

a

•

b

+4

b

2，
得

a

•

b

=0，
進而可得

a

⊥

b

即此時命題q成立，
若命題q成立
則有

a

•

b

=0
所以

a

2+4

a

•

b

+4

b

2=

a

2-4

a

•

b

+4

b

2
即(

a

+2

b

)2=(

a

-2

b

)2
即|

a

+2

b

|=|

a

-2

b

|
即此時命題p成立；
所以命題p是命題q的充要條件
故選D

點評：本題考查向量垂直的充要條件、考查向量模的平方等于向量的平方、考查如何判斷一個命題是另一個命題的什么條件．