，已知點(diǎn)P(0,
)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是
，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于
的點(diǎn)的坐標(biāo).
思路解析：利用橢圓的參數(shù)方程或范圍，在橢圓上找到與點(diǎn)P的距離為的點(diǎn)，使問(wèn)題得以突破.
解法一：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為（其中a＞b＞0，0≤θ＜2π
由e2==1-(
)2=
,得a=2b.
設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x,y）到點(diǎn)P的距離為d，
由d2=x2+(y-
)2=a2cos2θ+(bsinθ-
)2=-3b2(sinθ+
)2+4b2+3.
如果
＞1，即b＜
,
那么當(dāng)sinθ=-1時(shí),d2取得最大值（
）2=(b+
)2.
由此得b=
-
＞
與b＜
矛盾.
因此必有
≤1,此時(shí)當(dāng)sinθ=-
時(shí),
d2取得最大值(
)2=4b2+3，
解得b=1,a=2.
所求橢圓的參數(shù)方程是
由sinθ=-
,cosθ=±
求得橢圓上到點(diǎn)P的距離等于
的點(diǎn)是(-
,-
)與(
,-
).
解法二：設(shè)所求橢圓的方程為
+
=1（a＞b＞0）,
由e2=
=1-(
)2=
，解得
=
.
設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x,y）到點(diǎn)P的距離為d.
則d2=x2+(y-
)2=a2-
y2+(y-
)2
=-3y2-3y+4b2+
=-3(y+
)2+4b2+3,其中-b≤y≤b.
如果b＜
，則當(dāng)y=-b時(shí)，d2取得最大值(
)2=(b+
)2,
解得b=
-
＞
與b＜
矛盾,故必有b≥
.
當(dāng)y=-
時(shí)d2取得最大值(
)2=4b2+3，解得b=1,a=2,
所求橢圓方程為
+y2=1.
由y=-
可求得到點(diǎn)P的距離等于
的點(diǎn)的坐標(biāo)為（±
，-
）.
方法歸納
與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題，常考慮利用參數(shù)方程，或轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)利用橢圓的范圍求解，還可以考慮幾何法，特別是直線與橢圓，在相切時(shí)取得最值.
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的點(diǎn)的坐標(biāo).查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在x軸上,離心率e=
,已知點(diǎn)P(0,
)到這個(gè)橢圓上點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為
,求這個(gè)橢圓方程,并求橢圓上到點(diǎn)P的距離為的點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在
軸上，離心率
，已知點(diǎn)
到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是4，求這個(gè)橢圓的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012年人教A版高中數(shù)學(xué)選修1-1 2.1橢圓練習(xí)卷（解析版） 題型：解答題
設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e=
，已知點(diǎn)P（0，
）到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是
，求這個(gè)橢圓方程。
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