Question

已知橢圓的兩個焦點、，直線是它的一條準線，、分別是橢圓的上、下兩個頂點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設以原點為頂點，為焦點的拋物線為，若過點的直線與相交于不同、的兩點、，求線段的中點的軌跡方程．

Answer 1

（1）（2）

解析:

（Ⅰ）設橢圓方程為==1(a＞b＞0)

由題意，得c＝1，＝4  ??  a＝2，從而b²＝3

∴橢圓的方程；

（Ⅱ）設拋物線C的方程為x²＝2py(p＞0)

由＝2  ??  p＝4

∴拋物線方程為x²＝8y

設線段MN的中點Q(x,y)，直線l的方程為y＝kx＋1

由得，（這里△≥0恒成立），

設M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)

由韋達定理，得，，

所以中點坐標為Q，

∴x＝4k,y＝4k²＋1

消去k得Q點軌跡方程為：x²＝4(y－1)