Question

已知橢圓的兩個焦點為F1(-

5

，0)，F2(

5

，0)，M是橢圓上一點，若

MF1

•

MF2

=0，|

MF1

|•|

MF2

|=8，則該橢圓的方程是（　　）

• A．

  x2

  7

  +

  y2

  2

  =1
• B．

  x2

  2

  +

  y2

  7

  =1
• C．

  x2

  9

  +

  y2

  4

  =1
• D．

  x2

  4

  +

  y2

  9

  =1

Answer 1

分析：由

MF1

•

MF2

=0，利用數量積可得

MF1

⊥

MF2

，利用勾股定理可得|

MF1

|2+|

MF2

|2=(2

5

)2，
又|

MF1

|•|

MF2

|=8，聯立解出，再利用橢圓的定義可得|

MF1

|+|

MF2

|=2a，即可得到a．再利用b²=a²-c²即可．

解答：解：∵

MF1

•

MF2

=0，∴

MF1

⊥

MF2

，∴|

MF1

|2+|

MF2

|2=(2

5

)2，
又|

MF1

|•|

MF2

|=8，聯立解得|

MF1

|=2，|

MF2

|=4或|

MF1

|=4，|

MF2

|=2．
∴|

MF1

|+|

MF2

|=2a，即2a=2+4，解得a=3．
∴b²=a²-c²=4．
因此橢圓的方程為

x2

9

+

y2

4

=1．
故選C．

點評：熟練掌握橢圓的定義及其標準方程、性質、向量垂直與數量積的關系、勾股定理等是解題的關鍵．