Question

（山東卷理）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分別是BC, PC的中點.

（Ⅰ）證明：AE⊥PD;

（Ⅱ）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E—AF—C的余弦值.

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．

因為為的中點，所以．

又，因此．

因為平面，平面，所以．

而平面，平面且，

所以平面．又平面，所以．

（Ⅱ）解：設，為上任意一點，連接．

由（Ⅰ）知平面，

則為與平面所成的角．

在中，，

所以當最短時，最大，

即當時，最大．

此時，

因此．又，所以，所以．

解法一：因為平面，平面，所以平面平面．

過作于，則平面，

過作于，連接，則為二面角的平面角，

在中，，，

又是的中點，在中，，

又，

在中，，即所求二面角的余弦值為．

解法二：由（Ⅰ）知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又分別為的中點，所以

，

，

所以．

設平面的一法向量為，

則因此取，則，

因為，，，所以平面，

故為平面的一法向量．

又，所以．

因為二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為．