Question

【題目】已知函數（）．

（1）求函數的單調區間；

（2）函數在定義域內存在零點，求的取值范圍．

（3）若，當時，不等式恒成立，求的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）當時，函數的單調增區間為，當時，函數的單調增區間為，單調減區間為；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）先求函數的導數，分和求函數的單調區間；（2）將的零點問題，轉化

為，的問題，所以設函數（），求函數的導數，在定義域內分析函數的單調區間，根據單調性和極值點得到函數的最小值，然后再根據函數的變化速度分析函數沒有最大值，趨于正無窮大；（3）由（2）知，當時，，即，，先分析法證明：，．根據，將問題轉化為證明，然后結合（1）所討論的單調區間，求得滿足條件的的取值范圍．

試題解析：（1）由，則．

當時，對，有，所以函數在區間上單調遞增；

當時，由，得；由，得，

此時函數的單調增區間為，單調減區間為．

綜上所述，當時，函數的單調增區間為；

當時，函數的單調增區間為，單調減區間為．

（2）函數的定義域為，

由，得（）

令（），則，

由于，，可知當，；當時，，

故函數在上單調遞減，在上單調遞增，故．

又由（1）知當時，對，有，即，

（隨著的增長，的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于的增長速度，而的增長速度則會越來越慢．則當且無限接近于0時，趨向于正無窮大．）

∴當時，函數有零點；

（3）由（2）知，當時，，即．

先分析法證明：．

要證只需證明即證

設，則

所以在時函數單調遞增，所以，則

當時，由（1）知，函數在單調遞增，則在恒成立；

當時，由（1）知，函數在單調遞增，在單調遞減．故當時，所以，則不滿足題意，舍去．

綜上，滿足題意的實數a的取值范圍為．