Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）證明：對任意的，都有；

（3）設(shè)，比較與的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解；（2）分別對不等式兩段構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究兩函數(shù)的單調(diào)性和最值，證明即可；（3）先等價(jià)化簡，再作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可判定.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>，

所以， ，

又因?yàn)?/span>，所以切點(diǎn)為

故所求的切線方程為： ，即.（2）因?yàn)?/span>，故在上是增加的，在上是減少的

，

設(shè)，則，故在上是增加的，

在上是減少的，故，

.

所以對任意的恒成立.

（3），

，

∵，∴，故只需比較與的大小，

令，設(shè)，

則.

因?yàn)?/span>，所以，所以函數(shù)在上是增加的

故.

所以對任意恒成立.即，從而有.