Question

【題目】設(shè)圓的圓心為，直線l過點(diǎn)且與x軸不重合，l交圓于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn).

（1）證明為定值,并寫出點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，若是以為底邊的等腰三角形，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析，（）（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義可判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡為、為焦點(diǎn)的橢圓，即可求得其軌跡方程.

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，即可求得，，表示出的面積，再用基本不等式求得面積最小值.

解：（1）圓可化為

所以圓心，半徑

又因?yàn)檫^點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn) 所以

又因?yàn)?/span> 所以 所以

所以

所以點(diǎn)的軌跡為橢圓,由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為（）

（2）由（1）可知點(diǎn)的軌跡方程為：（），

直線與曲線交于兩點(diǎn), 可知，設(shè)

聯(lián)立 消得 解得

是以為底的等腰三角形 則

同理：

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)