Question

已知在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為

x=t-3 y= 3 t

（t為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的極坐標方程為ρ²-4ρcosθ+3=0．
（1）求直線l普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）設點P是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用直角坐標與極坐標間的關系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得C的直角坐標方程，將直線l的參數消去得出直線l的普通方程．
（2）求出圓心到直線的距離d，結合圓的性質即可求得點P到直線l的距離的取值范圍．

解答：解：（1）由ρ²-4ρcosθ+3=0，化為直角坐標方程：x²+y²-4x+3=0，
即曲線C的方程為x²+y²-4x+3=0，
由直線l的參數方程為

x=t-3 y= 3 t

（t為參數）消去t，得直線l的方程是：

3

x-y+3

3

=0…（4分）
（2）曲線C的標準方程為 （x-2）²+y²=1，圓心C（2，0），半徑為1．
∴圓心C到直線l的距離為：d=

|2 3 -0+3 3 |

4

=

5 3

2

．  …（6分）
所以點P到直線l的距離的取值范圍是[

5 3

2

-1，

5 3

2

+1]．

點評：本題考查曲線參數方程、點的極坐標和直角坐標的互化應用，考查數形結合思想，屬于中檔題．