Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x=t-3 y= 3 t

（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ+3=0．
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
②設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線L的距離的取值范圍．

Answer 1

分析：①直線l的參數(shù)方程為

x=t-3 y= 3 t

（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得y=

3

(x+3)；由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ+3=0，利用ρ²=x²+y²，

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出．
②由①可得⊙C的圓心為C（2，0），半徑r=1．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：圓心到直線L的距離d．則點(diǎn)P到直線L的距離的取值范圍是[d-r，d+r]

解答：解：①直線l的參數(shù)方程為

x=t-3 y= 3 t

（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得y=

3

(x+3)；
由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ+3=0化為x²+y²-4x+3=0，即（x-2）²+y²=1．
②由①可得⊙C的圓心為C（2，0），半徑r=1．
則圓心到直線L的距離d=

|2 3 +3 3 |

( 3 )2+1

=

5 3

2

．
∴d+r=

5 3

2

+1，d-r=

5 3

2

-1．
∴點(diǎn)P到直線L的距離的取值范圍是[

5 3

2

-1，

5 3

2

+1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的參數(shù)方程、圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．