Question

設p＞0是一常數，過點Q(2p,0)的直線與拋物線y²=2px交于相異的兩點A、B，以線段AB為直徑作圓H（H為圓心）.試證明拋物線頂點在圓H的圓周上，并求圓H的面積最小時直線AB的方程.

Answer 1

證明：由題意，直線 AB不能是水平線，故可設直線方程為ky=x-2p.

又設A(x_A,y_A)、B(x_B,y_B),則其坐標滿足消去x得y²-2pky-4p²=0.由此得

因此·=x_Ax_B+y_Ay_B=0,即OA⊥OB.故O必在圓H的圓周上.

又由題意圓心H（x_H,y_H）是AB的中點，

故

由前已證，OH應是圓H的半徑，且|OH|=.從而當k=0時，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小.此時，直線AB的方程為x=2p.