Question

設(shè)p＞0是一常數(shù)，過(guò)點(diǎn)Q（2p，0）的直線與拋物線y²=2px交于相異兩點(diǎn)A、B，以線段AB為直經(jīng)作圓H（H為圓心）．試證拋物線頂點(diǎn)在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時(shí)直線AB的方程．

Answer 1

分析：先設(shè)出A，B的坐標(biāo)，把直線與拋物線方程聯(lián)立消去x，根據(jù)韋達(dá)定理可分別求得y₁+y₂和y₁y₂及x₁+x₂和x₁x₂的從而求得

OA

•

OB

的值，結(jié)果為0，可推斷出OA⊥OB，進(jìn)而可知O必在圓H的圓周上，又根據(jù)H是AB的中點(diǎn)，進(jìn)而可表示出圓心的坐標(biāo)，求得|OH|的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得|OH|即圓的半徑的最小值，即進(jìn)而可知當(dāng)a=0時(shí)，圓的面積最小．

解答：解：由題意，設(shè)直線AB的方程為ay=x-2，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則其坐標(biāo)滿足

ay=x-2 y2=2px

消去x的y²-2apy-4p²=0，
則

x1+x2=(4+2a2)p x1•x2=4p2

因此

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0
∴OA⊥OB，故O必在圓H的圓周上，
又由題意圓心H是AB的中點(diǎn)，故

xH=(2+a2)p yH=ap

，
由前已證OH應(yīng)是圓H的半徑，且|OH|=

a4+5a2+4

p；
從而當(dāng)a=0時(shí)，圓H的半徑最小，也使圓H的面積最小．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．考查了考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．