Question

（本小題共12分）已知函數，

⑴若函數f(x)在區間（0，2）上遞減，在[2，+∞）上遞增，求a的值；

⑵在①的條件下是否存在實數m，使得函數的圖像與函數的圖像恰好有三個不同的交點，若存在，請求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

⑴

⑵m∈(－∞，－3) ∪（1，+∞）理由略

【解析】解：⑴                            （2分）

∵函數f(x)在區間（0，2）上遞減，在[2，+∞）上遞增，所以一定有

即                （4分）

⑵由⑴知a=1，

故此時的圖像與函數的圖像恰好有三個不同的交點。

即方程

化簡為有三個不同的實根             （8分）

即x[x²－(m+1)x+1]＝0

解得x＝0或x²-(m+1)x+1＝0                                   （10分）

∴ 方程x²－（1+m）x+1＝0必有兩個非零相異實根，

∴△＝（1+m）²－4＞0

∴m>1或m<－3

即m∈(－∞，－3) ∪（1，+∞）                              （12分）