Question

（2005•東城區一模）已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分別為B₁A、C₁C、BC的中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角B₁-AE-F的大小（用反三角函數表示）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證DE∥平面ABC，需在平面ABC內找到一條與DE平行的直線即可，有體重條件可聯想連結A₁B、A₁E，并延長A₁E交AC的延長線于點P，連接BP，然后利用三角形中位線知識加以證明；
（Ⅱ）要證B₁F⊥平面AEF，需要證B₁F垂直平面AEF內的兩條相交直線，由綿綿垂直的性質易證B₁F⊥AF，通過解三角形利用勾股定理得到B₁F⊥FE，由線面垂直的判定得證；
（Ⅲ）以A為坐標原點建立空間直角坐標系，利用空間向量求解二面角的平面角．

解答：（I）證明：連結A₁B、A₁E，并延長A₁E交AC的延長線于點P，連接BP．
由E為C₁C的中點，A₁C₁∥CP
可證A₁E=EP，
∵D、E是A₁B、A₁P的中點，∴DE∥BP，又∵BP?平面ABC，DE?平面ABC，∴DE∥平面ABC  
（II）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，F為BC的中點

∴BC⊥AF，又∵B₁B⊥平面ABC，
由三垂線定理可證B₁F⊥AF
設AB=A₁A=a
則B1F2=

3

2

a2，EF2=

3

4

a2，B1E2=

9

4

a2
∴B1F2+EF2=B1E2，∴B₁F⊥FE
∵AF∩FE=F，∴B₁F⊥平面AEF
（III）解：法一、
過F做FM⊥AE于點M，連接B₁M
∵B₁F⊥平面AEF，
由三垂線定理可證B₁M⊥AE
∴∠B₁MF為二面角B₁-AE-F的平面角
C₁C⊥平面ABC，AF⊥FC，由三垂線定理可證EF⊥AF
在Rt△AEF中，可求FM=

30

10

a
在Rt△B₁FM中，∠B₁FM=90°，
∴tan∠B1MF=

B1F

FM

=

5

∴∠B1MF=arctan

5

∴二面角B₁-AE-F的大小為arctan

5

法二、
如圖建立空間直角坐標系O-xyz

令AB=AA₁=4，則A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B₁（4，0，4）

B1A

=(-4，0，-4)，

B1F

=(-2，2，-4)．
平面AEF的法向量為

B1F

=(-2，2，-4)，設平面B₁AE的法向量為

n

=(x，y，z)，
∴

n • AE =0 n • B1A =0

，即

2y+z=0 x+z=0

令x=2，則z=-2，y=1，∴

n

=(2，1，-2)
∴cos＜

n

，

B1F

＞=

n • B1F

| n || B1F |

=

6

9 × 24

=

6

6

∴二面角B₁-AE-F的大小為arccos

6

6

點評：本題考查了直線與平面平行，直線與平面垂直的判定，考查了利用空間向量求二面角的方法，考查了學生的空間想象和思維能力，屬中檔題．