Question

若直線2ax-by+2=0（a，b∈R）始終平分x²+y²+2x-4y+1=0的周長，則a•b的取值范圍是（　　）

• A．（-∞，

  1

  4

  ]
• B．（0，

  1

  4

  ）
• C．（0，

  1

  4

  ]
• D．（-∞，

  1

  4

  ）

Answer 1

分析：根據圓的性質，得圓心在直線2ax-by+2=0上，解得b=1-a，代入式子a•b并利用二次函數的圖象與性質，即可算出a•b的取值范圍．

解答：解：∵直線2ax-by+2=0（a、b∈R）始終平分x²+y²+2x-4y+1=0的周長，
∴圓心（-1，2）在直線2ax-by+2=0上，可得-2a-2b+2=0
解得b=1-a
∴a•b=a（1-a）=-（a-

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

，當且僅當a=

1

2

時等號成立
因此a•b的取值范圍為（-∞，

1

4

]
故選：A

點評：本題給出直線始終平分圓，求ab的取值范圍．著重考查了直線的方程、圓的性質和二次函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．