Question

若直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圓x²+y²+2x-4y+1=0的面積，則

1

a

+

1

b

的最小值（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  4

• C．2
• D．4

Answer 1

分析：根據(jù)題意，直線2ax-by+2=0經(jīng)過已知圓的圓心，可得a+b=1，由此代換得：

1

a

+

1

b

=（a+b）（

1

a

+

1

b

）=2+（

b

a

+

a

b

），再結(jié)合基本不等式求最值，可得

1

a

+

1

b

的最小值．

解答：解：∵直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圓x²+y²+2x-4y+1=0的面積，
∴圓x²+y²+2x-4y+1=0的圓心（-1，2）在直線上，可得-2a-2b+2=0，即a+b=1
因此，

1

a

+

1

b

=（a+b）（

1

a

+

1

b

）=2+（

b

a

+

a

b

）
∵a＞0，b＞0，
∴

b

a

+

a

b

≥2

b a • a b

=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立
由此可得

1

a

+

1

b

的最小值為2+2=4
故答案為：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出直線平分圓面積，求與之有關(guān)的一個(gè)最小值．著重考查了利用基本不等式求最值和直線與圓位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．