Question

計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X（年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和．單位：億立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，假設各年的年入流量相互獨立．
（Ⅰ）求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；
（Ⅱ）水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量X限制，并有如下關系：

年入流量X	40＜X＜80	80≤X≤120	X＞120
發電機最多可運行臺數	1	2	3

若某臺發電機運行，則該臺年利潤為5000萬元，若某臺發電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根據二項分布，求出未來4年中，至少有1年的年入流量超過120的概率；
（Ⅱ）分三種情況進行討論，分別求出一臺，兩臺，三臺的數學期望，比較即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，p₁=P（40＜X＜80）=

10

50

=0.2，p2=P(80≤X≤120)=

35

50

=0.7，p3=P(X＞120)=

5

50

=0.1，
由二項分布，未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為
p

=C

0 4

(1-p3)4+

C

1 4

(1-p3)3•p3=(

9

10

)4+4×(

9

10

)3×(

1

10

)=0.9477
（Ⅱ）記水電站的總利潤為Y（單位，萬元）
（1）安裝1臺發電機的情形，
由于水庫年入流總量大于40，故一臺發電機運行的概率為1，對應的年利潤Y=5000，E（Y）=5000×1=5000，
（2）安裝2臺發電機的情形，
依題意，當 40＜X＜80時，一臺發電機運行，此時Y=5000-800=4200，
因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p₁=

10

50

=0.2，
當X≥80時，兩臺發電機運行，此時Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P₂+P₃=0.8，
由此得Y的分布列如下

Y	4200	10000
P	0.2	0.8

所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．
（3）安裝3臺發電機的情形，
依題意，當 40＜X＜80時，一臺發電機運行，此時Y=5000-1600=3400，
因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p₁=0.2，
當80≤X≤120時，兩臺發電機運行，此時Y=5000×2-800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p₂=0.7，
當X＞120時，三臺發電機運行，此時Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p₃=0.1，
由此得Y的分布列如下

Y	3400	9200	15000
P	0.2	0.7	0.1

所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．
綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機2臺．

點評：本題主要考查了數學期望和二項分布，再求最大利潤時，需要分類討論，屬于中檔題．