Question

已知y=2x是△ABC中∠C的內角平分線所在直線的方程，若A（-4，2），B（3，1）．
（1）求點A關于y=2x的對稱點P的坐標；
（2）求直線BC的方程；
（3）判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）設P（m，n）根據軸對稱的性質建立關于m、n的方程組，解之得m=4且n=-2，即可得到所求點P的坐標；（2）根據角的兩邊關于角平分線所在直線對稱，得到P（4，-2）在BC上，用點斜式寫出直線PB的方程，即得
直線BC的方程；
（3）則BC方程與AC方程聯解得出C（2，4），從而得到AB、BC、AC的長度，算出|AB|²=|BC|²+|AC|²，從而得到△ABC為以∠C為直角的直角三角形．

解答：解：（1）設A關于y=2x的對稱點為P（m，n）．
∴

n-2 m+4 ×2=-1 n+2 2 =2× m-4 2

解之得

m=4 n=-2.

，即點P的坐標為（4，-2）．
（2）∵P（4，-2）在BC上，
∴BC的方程為y-1=-3（x-3），即3x+y-10=0．
（3）由

y=2x 3x+y-10=0

，解得

x=2 y=4.

∴C的坐標為（2，4）．
由|AB|=

50

，|BC|=

10

，|AC|=

40

，
得|AB|²=|BC|²+|AC|²，
∴△ABC為以∠C為直角的直角三角形．

點評：本題給出△ABC的頂點A、B的坐標，在給出角A平分線的基礎之上求BC的方程，并判斷三角形的形狀，著重考查了兩點的距離公式、直線與直線的位置關系和三角形形狀的判斷等知識，屬于中檔題．