Question

（2005•杭州二模）如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4

2

，點E，點F分別是PC，AP的中點．
（1）求證：側面PAC⊥側面PBC；
（2）求異面直線AE與BF所成的角；
（3）求二面角A-BE-F的平面角．

Answer 1

分析：（1）由已知中PB⊥底面ABC于B，，∠BCA=90°，我們易根據面面垂直的判定定理及面面垂直的性質定理得到側面PAC⊥側面PBC；
（2）以BP所在直線為z軸，CB所在直線y軸，建立空間直角坐標系，分別求出直線AE與BF的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到答案；
（3）分別求出平面ABE與平面BEF的法向量，代入空間向量夾角公式，即可得到二面角A-BE-F的平面角的大小．

解答：解：（1）∵PB⊥平面ABC，
∴平面PBC⊥平面ABC，
又∵AC⊥BC，∴AC⊥平面PBC
∴側面PAC⊥側面PBC．（4分）
（2）以BP所在直線為z軸，CB所在直線y軸，建立空間直角坐標系，
由條件可得：

P(0，0，4 2 )，B(0，0，0)，C(0，-4 2 ，0)，A(4 2 ，-4 2 ，0) 則E(0，-2 2 ，2 2 )，F(2 2 ，-2 2 ，2 2 ) AE =(-4 2 ，2 2 ，2 2 )， BF =(2 2 ，-2 2 ，2 2 )， ∴ AE • BF =-16，| AE |•| BF |=24 2 ，

∴cos＜ AE ， BF ＞=- 2 3 ， ∴AE與BF所成的角是arccos 2 3 (4分)

（3）平面EFB的法向量

a

=（0，1，1）
平面ABE的法向量為

b

=（1，1，1）
cos＜

a

，

b

＞=

6

3

，
∴二面角A-BE-F的平面角為arccos

6

3

．（4分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定及用空間向量法求平面與平面及直線與直線之間夾角，其中建立適當的坐標系，求出各個頂點的坐標，進而將空間線線、面面夾角轉化為求向量夾角問題是解答本題的關鍵．