Question

（2005•杭州二模）如圖所求，橢圓中心在坐標原點，離心率為

1

2

，F為隨圓左焦點，直線AB與FC交于D點，則∠BDC的正切值是（　　）

• A．-3

  3

• B．3-

  3

• C．3

  3

• D．3+

  3

Answer 1

分析：根據題意可得離心率為

1

2

，然后得到a，b，c之間的關系，進而利用這些關系表示出∠DBF、∠DFB的正切值，再根據角之間的關系表示出∠BDC=π-（∠DBF+∠DFB），
利用正切公式即可得到答案．

解答：解：由e=

c

a

=

1

2

，
所以在△ABO中tan∠ABF=tan∠DBF=

b

a

=

3

2

，
在△OFC中：tan∠OFC=

b

c

=

3

，
又因為∠OFC=DFB，
所以tan∠DFB=

3

．
因為∠BDC=π-（∠DBF+∠DFB），
所以tan∠BDC=-tan（∠DBF+∠DFB）=-

tan∠DBF+tan∠DFB

1-tan∠DBFtan∠DFB

=3

3

．
故選C．

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉橢圓中a，b，c之間的關系，以及圖象中角與角之間的互補關系，進而得到答案．