Question

已知頂點在原點，焦點在軸上的拋物線被直線截得的弦長為，（1）求拋物線的方程；（2）若拋物線與直線無公共點，試在拋物線上求一點，使這點到直線的距離最短。

Answer 1

（1）設拋物線的方程為，則消去得
                   ……………2
，………4
則
                                             …………6
（2）解法一、顯然拋物線與直線無公共點，設點為拋物線上的任意一點，點P到直線的距離為，則       ……………7
                                 ……………10
當時，取得最小值，此時為所求的點         ……………12
解法二、顯然拋物線與直線無公共點，設與直線平行且與拋物線相切的直線方程為，切點為P，則點P即為所求點。……7
由消去并化簡得：，             ……………9
∵直線與拋物線相切，∴，解得：    
把代入方程并解得：，∴
故所求點為。

略