Question

（本小題滿分12分）
設a∈R，函數f（x）= e -x（ax2 + a + 1），其中e是自然對數的底數；
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）當 -1＜a＜0 時，求函數f（x）在 [ 1，2 ] 上的最小值。

Answer 1

（1）由已知：f′（x）=-e-x（ax2+a+1）+ e-x·2ax=e-x（-ax2+2ax-a-1）。
因為e-x＞0，只需討論g（x）=-ax2+2ax-a-1值的情況；
當a=0時，g（x）=-1＜0，即f′（x）＜0，
所以f（x）在R上是減函數；
當a＞0時，g（x）=0的△=4a2-4（a2+a）=-4a＜0，所以g（x）＜0，即f′（x）＜0，
所以f（x）在R上是減函數； （4分）
當a＜0時，g（x）=0有兩根，且＜。
所以，在區間（-∞，）上，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在此區間上是增函數，
在區間（，）上，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在此區間上是減函數，
在區間（，+∞）上，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在此區間上是增函數。
綜上所述，當a≥0時，f（x）的單調減區間為（-∞，+∞），
當a＜0時，f（x）的單調增區間為（-∞，）和（，+∞），
f（x）的單調減區間為（，）。（8分）
（2）當-1＜a＜0時，＜1，＞2，所以，在[1，2]上，f（x）單調遞減，
所以f（x）在[1，2]上的最小值為f（2）=。（12分）

解析