Question

【題目】已知函數(shù) ，直線l：x﹣ty﹣2=0．
（1）若直線l與曲線y=f（x）有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求公共點(diǎn)橫坐標(biāo)的值；
（2）若0＜m＜n，m+n≤2，求證：f（m）＞f（n）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得f′（x）= （x＞0），

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，

根據(jù)直線l的方程x=ty+2，可得l恒過點(diǎn)（2，0），

①當(dāng)t=0時(shí)，直線l：x=2垂直x軸，與曲線y=f（x）相交于一點(diǎn)，即交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2；

②當(dāng)t≠0時(shí)，設(shè)切點(diǎn)A（x0，y0），直線l可化為 ，斜率k= =f′（x0）= ，

又直線l和曲線y=f（x）均過點(diǎn)A（x0，y0），則滿足 ，

∴ = = = = ，兩邊約去t后，

可得 ，化簡(jiǎn)得 ，

解得： ，

綜上所述，該公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2和 ；

（2）證明：①若0＜m＜n≤1時(shí)，由（1）可知，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，

∴f（m）＞f（n）；

②若0＜m＜1，n＞1時(shí)，欲證f（m）＞f（n），由題意m+n≤2，由（1）可知f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

只需證f（m）＞f（2﹣m）對(duì)m∈（0，1）恒成立即可．

設(shè)函數(shù)φ（m）=f（m）﹣f（2﹣m），則 ，

即 ，

設(shè) ，則 ，

易知x∈（0，2）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，x∈（2，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)m∈（0，1）時(shí)，有2﹣m∈（1，2），且滿足2﹣m＞m，故h（m）﹣h（2﹣m）＞0，

即 ，又m﹣1＜0，則φ'（m）＜0，

∴φ（m）在（0，1）上單調(diào)遞減，有φ（m）＞φ（1）=0，

即f（m）＞f（2﹣m），故f（m）＞f（n）．

綜上，f（m）＞f（n）．

【解析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由直線方程可知直線過定點(diǎn)，然后分t=0和t≠0分類求解A的橫坐標(biāo)；（2）若0＜m＜n≤1時(shí)，由（1）可知，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，可得f（m）＞f（n）；若0＜m＜1，n＞1，把證明f（m）＞f（n）轉(zhuǎn)化為證f（m）＞f（2﹣m）對(duì)m∈（0，1）恒成立即可．構(gòu)造函數(shù)φ（m）=f（m）﹣f（2﹣m），利用兩次求導(dǎo)加以證明．
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．