Question

【題目】已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分別是AC、AD上的動點，且 =λ（0＜λ＜1）．

（Ⅰ）求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）當λ為何值時，平面BEF⊥平面ACD？

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，

∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．

又∵ ，

∴不論λ為何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF，

∴不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又∵平面BEF⊥平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC．

∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，

∴ ，（11分）

∴ ，

由AB2=AEAC得 ，∴ ，

故當 時，平面BEF⊥平面ACD．

【解析】（Ⅰ）根據線面垂直的判定定理可得證CD⊥平面ABC，利用已知可得對應邊成比例可得EF∥CD進而可得EF⊥平面ABC根據面面垂直的判定定理可得證平面BEF⊥平面ABC（Ⅱ）利用面面垂直的性質定理可得證BE⊥平面ACD進而得出BE⊥AC，在三角形BCD和三角形ABD中由已知可解得AC 、AE的值，故可求出 λ的值使得平面BEF⊥平面ACD。
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的性質和平面與平面垂直的判定，掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直即可以解答此題．