Question

過點A（-2，0）的直線交圓x²+y²=1交于P、Q兩點，則

AP

•

AQ

的值為

3

．

Answer 1

分析：由題意可設直線PQ的方程為y=k（x+2），聯立直線與圓的方程，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據方程的根與系數關系可求x₁+x₂，x₁x₂，進而可求y₁y₂=k²（x₁+2）（x₂+2），代入

AP

•

AQ

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+y₁y₂+4即可求解

解答：解：由題意可設直線PQ的方程為y=k（x+2）
聯立

y=k(x+2) x2+y2=1

可得（1+k²）x²+4k²x+4k²-1=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-4k2

1+k2

，x₁x₂=

4k2-1

1+k2

∴y₁y₂=k²（x₁+2）（x₂+2）=k²[x₁x₂+2（x₁+x₂）+4]
則

AP

•

AQ

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）
=x₁x₂+2（x₁+x₂）+y₁y₂+4
=（1+k²）x₁x₂+2(1+k2)(x1+x2)+4(1+k2)
=(1+k2)•

4k2-1

1+k2

+2(1+k2)•

-4k2

1+k2

+4+4k²
=4k²-1-8k²+4+4k²=3
故答案為：3

點評：本題主要考查了直線與圓的相交關系的應用，其中方程的根與系數關系的應用是求解問題的關鍵