Question

已知函數(shù)，．
（1）若函數(shù)在處取得極值，求的值；
（2）若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求的范圍．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力和函數(shù)思想.第一問(wèn)，由于在處取得極值，所以是的根，所以對(duì)求導(dǎo)，解，得出a的值，但是需要驗(yàn)證是否符合題意；第二問(wèn)，先將“的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”轉(zhuǎn)化為“存在圖象上一點(diǎn)，使得在的圖象上”，即轉(zhuǎn)化為“同時(shí)成立”，聯(lián)立消參，即轉(zhuǎn)化為“，即關(guān)于的方程在內(nèi)有解”，下面證明與有交點(diǎn).
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，   2分
∵在處取得極值
∴，即
解得：，經(jīng)驗(yàn)證滿足題意，∴．            5分
的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
即存在圖象上一點(diǎn)，
使得在的圖象上
則有 
                         8分
化簡(jiǎn)得：，即關(guān)于的方程在內(nèi)有解                   9分
設(shè)，則
∵
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)
∴，且時(shí)，；時(shí)，
即值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044835885557.png" style="vertical-align:middle;" />                                             11分
∴時(shí)，方程在內(nèi)有解
∴時(shí)，的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．   12分