Question

已知函數(shù)F（x）=．
（I）求F（）+F（）+…+F（）；
（II）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=F（a_n），證明{}為等差數(shù)列（n∈N^*），并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（III）已知若b＞a＞0，c＞0，則必有，利用此結(jié)論，求證：a₁a₂…a_n＞（n∈N^*）．

Answer 1

解：（I）∵F（x）=，
∴F（x）+F（1-x）=
===3，
設(shè)S=F（）+F（）+…+F（），①
則S=F（）+F（）+…+F（），②
①+②，得2S=[F（）+F（）]+[F（）+F（）]+…+[F（）+F（）]=3×2010=6030，
∴S=3015，
∴F（）+F（）+…+F（）=3015．
（II）將等式a_n+1=F（a_n）的兩邊同時減去1，
得=，
∴==2+，
即，又，
∴數(shù)列{}是以2為公差，1為首項的等差數(shù)列，
所以=2n-1，
所以=．
（III）∵，
∴=，
∴＞，
∴a₁a₂…a_n＞=（n∈N^*）．
分析：（I）由F（x）=，得F（x）+F（1-x）=3，設(shè)S=F（）+F（）+…+F（），利用倒序相加法能求出F（）+F（）+…+F（）的值．
（II）將等式a_n+1=F（a_n）的兩邊同時減去1，得=，由此能證明證明{}為等差數(shù)列（n∈N^*），并求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（III）由，得＞，由此能夠證明a₁a₂…a_n＞（n∈N^*）．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查等差數(shù)列的證明，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意構(gòu)造法和放縮法的合理運用．