Question

【題目】如圖，在四棱柱中，，，，，，，側棱底面，是的中點.

（1）求證：平面；

（2）設點在線段上，且，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）以A為坐標原點，AB，AD，AA1所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能證明BD⊥平面A1ACC1．

（2）設Q（x，y，z），直線QC與平面A1ACC1所成角為θ，求出平面A1ACC1的一個法向量，利用向量法能求出直線CQ與平面A1ACC1所成角的正弦值．

（1）證明：∵平面，，

∴以為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，

所以，，，

所以，

.

所以，，

因為，平面，

平面，

所以平面.

（2）設，直線與平面所成角為，由（1）知平面的一個法向量為.

∵，

∴，，

平面法向量，

.