Question

21、對于集合A={x|x=m²-n²，m∈Z，n∈Z}，因為16=5²-3²，所以16∈A，研究下列問題：
（1） 1，2，3，4，5，6六個數中，哪些屬于A，哪些不屬于A，為什么？
（2） 討論集合B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素屬于A，試給出一個一般的結論，不必證明．

Answer 1

分析：（1）根據集合A的元素的性質證明1，3，4，5∈A，對于2和6用反證法進行證明，證明過程注意根據整數是奇（偶）進行分類說明；
（2）根據集合A的元素的性質，在偶數中找出是集合A的元素和一些不是的A的元素，由這些數的特征進行歸納得出結論．

解答：解：（1）∵1=1²-0²；3=2²-1²；5=3²-2²；4=2²-0²；
∴1，3，4，5∈A，且2，6∉A；（5分）
設2∈A，得存在m，n∈Z，使2=m²-n²成立．（m-n）（m+n）=2
當m，n同奇或同偶時，m-n，m+n均為偶數
∴（m-n）（m+n）為4的倍數，與2不是4倍數矛盾．
當m，n同分別為奇，偶數時，m-n，m+n均為奇數
（m-n）（m+n）為奇數，與2是偶數矛盾．∴2∉A同理6∉A（8分）
（2）4=2²-0²；8=3²-1²；12=4²-2²；
2，6，10，14，∉A，結論：是4的倍數的數屬于A．（12分）

點評：本題考查了元素與集合的關系，只要根據集合元素滿足的性質進行判斷，利用歸納推理思想方法進行歸納出集合元素的性質的結論，考查了分析和解決問題的能力．