Question

如圖，P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，xy≠0)上的動點，F₁、F₂是雙曲線的左右焦點，M是∠F₁PF₂的平分線上一點，且F₂M⊥MP．某同學用以下方法研究|OM|：延長F₂M交PF₁于點N，可知△PNF₂為等腰三角形，且M為F₂N的中點，得|OM|=

1

2

|NF1|，…，|OM|=a．類似地：P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，b2+c2=a2，xy≠0)上的動點，F₁、F₂是橢圓的左右焦點，M是∠F₁PF₂的平分線上一點，且F₂M⊥MP，則|OM|的取值范圍是

（0，c）

．

Answer 1

分析：類比雙曲線中的研究方法，結合橢圓的定義，即可確定|OM|的取值范圍．

解答：解：延長F₂M交PF₁于點N，可知△PNF₂為等腰三角形，且M為F₂N的中點，得|OM|=

1

2

|NF1|=

1

2

(|PF1|-|PF2|)
∵|PF₁|+|PF₂|=2a
∴|OM|=a-|PF₂|
∵a-c≤|PF₂|≤a+c
∵P、F₁、F₂三點不共線
∴0＜a-|PF₂|＜c
∴0＜|OM|＜c
故答案為：（0，c）．

點評：本題考查類比推理，考查橢圓的定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．