Question

已知數列的相鄰兩項是關于的方程的兩實根，且　

（Ⅰ）求證：數列是等比數列；

　 （Ⅱ）是數列的前項的和．問是否存在常數，使得對都成立，若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：是關于的方程的兩實根，

          ……2分

      

       故數列是首項為，公比為-1的等比數列．……4分  

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即

      

        ……8分

因此，

       要使，對都成立，

       即（*） ……10分

       ①當為正奇數時，由（*）式得：

       即，

       對任意正奇數都成立，

       因為為奇數）的最小值為1．所以……12分

       ②當為正偶數時，由（*）式得：

       ，      即

       對任意正偶數都成立，因為為偶數）的最小值為

所以，存在常數，使得對都成立時的取值范圍為．

……14分