Question

．（本小題滿分14分）

已知數列的相鄰兩項是關于的方程 的兩實根，且，記數列的前項和為.

（1）求；

（2）求證：數列是等比數列；

   （3）設，問是否存在常數，使得對都成立，若存在，

求出的取值范圍，若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

(1) ，

(2)略

(3)

【解析】

解：（1）證明：因為，是關于的方程的兩實根，

        所以.                                          …………1分

又因為，所以，，.                         …………3分（2）    ………… 6分

        故數列是首項為，公比為的等比數列. ………… 7分

（3）由（2）得，

         即,

                                           …………9分

         又，

         要使，對都成立，

         即（*）………10分

        ①當為正奇數時，由（*）式得：

           ,

           即,

           對任意正奇數都成立，

           故為正奇數）的最小值為1.

                                                           …………12分

           ②當為正偶數時，由（*）式得：

           ，

           即，

           對任意正偶數都成立，

           故為正偶數）的最小值為

                                                          …………13分

           綜上所述得，存在常數，使得對都成立，

          的取值范圍為.                                   …………14分