【題目】定義：若函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)
是奇函數(shù)
，則稱函數(shù)是“雙奇函數(shù)”．函數(shù)
．
（1）若函數(shù)是“雙奇函數(shù)”，求實數(shù)
的值；
（2）若
時，討論函數(shù)
的極值點．
【答案】（1）
；（2）見解析.
【解析】
（1）先求出導(dǎo)函數(shù)
，再利用“雙奇函數(shù)”的定義即可求出
的值；
（2）若
時，對
分情況討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)
的單調(diào)性和極值．從而分析出函數(shù)的極值點．
（1）
，
，
又
函數(shù)
是“雙奇函數(shù)”，
對任意
且
成立，
，
；
（2）
，且
，
即
①當(dāng)
時，
，
令
得，
，
（舍去），
若
，即
，則
，所以在
上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上不存在極值點，
若
，即
，
當(dāng)
時，
；當(dāng)
，
時，
，
所以在
上單調(diào)遞減，在
，上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上存在一個極值點，
②當(dāng)
時，
，
令，得
，記△
，
若△
，即
時，
，所以在
上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上不存在極值點，
若△
，即
時，則由得，
，
，
，
所以當(dāng)
時，；當(dāng)
，
時，；當(dāng)
，
時，，
所以在區(qū)間
上單調(diào)遞減，在區(qū)間
，上單調(diào)遞增，在區(qū)間
，上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，函數(shù)存在兩個極值點，
綜上所求，當(dāng)時，函數(shù)的極小值點
，極大值點
，
當(dāng)
時，函數(shù)無極值點，
當(dāng)時，函數(shù)的極小值點
，無極大值點．
優(yōu)學(xué)名師名題系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】因客流量臨時增大，某鞋店擬用一個高為50
（即
）的平面鏡自制一個豎直擺放的簡易鞋鏡，根據(jù)經(jīng)驗：一般顧客
的眼睛
到地面的距離為
（）在區(qū)間
內(nèi)，設(shè)支架
高為
（
），
，顧客可視的鏡像范圍為
（如圖所示），記的長度為
（
）.
（I）當(dāng)
時，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式和的最大值；
（II）當(dāng)顧客的鞋
在鏡中的像
滿足不等關(guān)系
（不計鞋長）時，稱顧客可在鏡中看到自己的鞋，若使一般顧客都能在鏡中看到自己的鞋，試求的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以坐標(biāo)原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線
的極坐標(biāo)方程是
．
（1）寫出曲線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；
（2）求上的點到距離的最小值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知命題
；命題
函數(shù)
在區(qū)間
上有零點．
（1）當(dāng)
時，若
為真命題，求實數(shù)
的取值范圍；
（2）若命題
是命題
的充分不必要條件，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1+a3＝30，2S2是3S1和S3的等差中項．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}滿足
，求數(shù)列{bn}前n項和Tn．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.（其中常數(shù)
，是自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若
，求函數(shù)
的極值點個數(shù)；
（2）若函數(shù)在區(qū)間
上不單調(diào)，證明：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以
為極點，
軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線
的極坐標(biāo)方程為
.
（1）求曲線的普通方程以及直線的直角坐標(biāo)方程；
（2）將曲線向左平移2個單位，再將曲線上的所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的
，得到曲線
，求曲線上的點到直線的距離的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
，
（
且
），函數(shù)
.
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)
的圖像在點
處的切線的斜率為1，問：
在什么范圍取值時，對于任意的
，函數(shù)
在區(qū)間
上總存在極值？
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