Question

【題目】已知橢圓的離心率為，直線過右焦點，過點的直線交橢圓于，兩點（均不為頂點）

（1）求橢圓的方程；

（2）已知是橢圓的右頂點，直線，若直線與直線交于點直線與直線交于點，試判斷是否為定值，若是，求出定值，若不是請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，定值為0．

【解析】

（1）由直線過右焦點，求得，可得，由離心率公式可得，結合，，的關系可得，進而得到橢圓方程；

（2）求得的坐標，設出直線，設，，求得，的坐標，運用向量的加減和數量積的坐標運算，化簡整理，再由直線和橢圓方程聯立，消去，可得的二次方程，運用韋達定理，計算可得所求定值．

（1）直線過右焦點，

，

．

又橢圓C的離心率為，

，

，

則．

橢圓C的方程為

（2）設的中點為，

則．

當軸時，．

當不與軸垂直時，

設直線的方程為．

由（1）知，，

設，，，，

則，

，，，．

易知，，三點共線，

，

可得，

解得；

同理，可得

聯立直線與橢圓C的方程，得，整理得，

，．

則

，

．

又，

綜上所述，是定值，定值為．