Question

如圖，在長方體ABCD-A₁C₁B₁D₁中，已知上下兩底面為正方形，且邊長均為1；側棱AA₁=2，E為BC中點，F為CD中點，G為BB₁上一個動點．
（1）確定G點的位置，使得D₁E⊥平面AFG；
（2）當D₁E⊥平面AFG時，求二面角G-AF-E的平面角余弦值．

Answer 1

分析：（1）由題意建立空間直角坐標系，求出已知點的坐標，設出G點的坐標，然后由D₁E垂直于平面AFG內的兩條相交直線列式求出G的坐標，則G點的位置確定；
（2）由D₁E⊥平面AFG得到G的坐標，然后直接利用平面法向量求二面角G-AF-E的平面角余弦值．

解答：解：（1）如圖，
分別以DA，DC，DD₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系D-xyz，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，2）．
因為E為BC中點，F為CD中點，所以E(

1

2

，1，0)，F(0，

1

2

，0)．
由題意得D₁E⊥AF，D₁E⊥AG，設G（1，1，t）．
又

D1E

=(

1

2

，1，-2)，

AF

=(-1，

1

2

，0) ，

AG

=(0，1，t)．
則由

D1E • AF =0 D1E • AG =0

，得1-2t=0，t=

1

2

．
∴BG=

1

2

．
則G為BB₁的四等分點；
（2）由題意知，平面AFE的一個法向量為

m

=(0，0，1)，
設平面AFG的法向量

n

=(x，y，z)．
則

AF • n =0 AG • n =0

，得

-x+ 1 2 y=0 y+ 1 2 z=0

，取x=-1，得

n

=(-1，-2，4)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

4 21

21

．
∴二面角G-AF-E的平面角余弦值為

4 21

21

．

點評：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了利用平面法向量求二面角的平面角的大小，建立正確的空間右手系是解答該類問題的關鍵，是中檔題．