Question

如圖，定義八個頂點都在某圓柱的底面圓周上的長方體叫做圓柱的內接長方體，圓柱也叫長方體的外接圓柱．設長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的長、寬、高分別為a，b，c（其中a＞b＞c），那么該長方體的外接圓柱側面積的最大值等于（　　）

• A．πa

  b2+c2

• B．πb

  c2+a2

• C．πc

  a2+b2

• D．πabc

Answer 1

分析：得當ABCD在圓柱的底面上時，由題意可得圓柱的高等于c，直徑2r=

a2+b2

，故外接圓柱側面積為 2πrc=πc

a2+b2

，同理求的當ABB₁A₁在圓柱的底面上以及當BCC₁B₁在圓柱的底面上時，外接圓柱側面積，在這三個側面積中找出最小的即為所求．

解答：解：當ABCD在圓柱的底面上時，由題意可得AC等于圓柱的底面直徑2r，圓柱的高等于c．
故2r=

a2+b2

，故外接圓柱側面積為 2πrc=πc

a2+b2

．
同理可得，當ABB₁A₁在圓柱的底面上時，外接圓柱側面積為 πb

a2+c2

；
當BCC₁B₁在圓柱的底面上時，外接圓柱側面積為 πa

b2+c2

．
令a=3，b=2，c=1，檢驗可得在 πc

a2+b2

、πb

a2+c2

、πa

b2+c2

中，最小的是πc

a2+b2

．
故選：C．

點評：本題主要考查圓柱體的側面積公式，求出圓柱底面的半徑，是解題的關鍵．