Question

【題目】用細鋼管焊接而成的花壇圍欄構件如圖所示，它的外框是一個等腰梯形PQRS，內部是一段拋物線和一根橫梁，拋物線的頂點與梯形上底中點是焊接點O，梯形的腰緊靠在拋物線上，兩條腰的中點是梯形的腰、拋物線以及橫梁的焊接點A，B，拋物線與梯形下底的兩個焊接點為C，D，已知梯形的高是40厘米，C，D兩點間的距離為40厘米．

（1）求橫梁AB的長度；

（2）求梯形外框的用料長度；

（注：細鋼管的粗細等因素忽略不計，結果精確到1厘米）

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）以為坐標原點建立直角坐標系，利用拋物線方程求出，點坐標，即可求出橫梁的長度；

（2）求出直線的方程，利用直線方程求出，點坐標，即可求出梯形外框的長度.

（1）如圖所示以為坐標原點建立直角坐標系，

設拋物線方程為，

由題知在拋物線上滿足拋物線方程，

所以點代入拋物線方程有，

得到拋物線方程為，

因為點，都在拋物線上，且點，的縱坐標都為，

所以當時，有，

有，，

，

故橫梁的長度為.

（2）由題知點，是梯形與拋物線的公共點，且梯形的腰與拋物線相切，

設直線，

因為拋物線方程為，

聯立方程組為，

整理得，

，

故直線，

當時，解得，故點，

當時，解得，故點，

有，，，

因為梯形關于軸對稱，

所以梯形的周長為.