Question

（本小題滿分13分）
對于各項均為整數的數列，如果(=1，2，3，…)為完全平方數，則稱數
列具有“性質”。
不論數列是否具有“性質”，如果存在與不是同一數列的，且同
時滿足下面兩個條件：①是的一個排列；②數列具有“性質”，則稱數列具有“變換性質”。
（I）設數列的前項和，證明數列具有“性質”；
（II）試判斷數列1，2，3，4，5和數列1，2，3，…，11是否具有“變換性質”，具有此性質的數列請寫出相應的數列，不具此性質的說明理由；
（III）對于有限項數列：1，2，3，…，，某人已經驗證當時，
數列具有“變換性質”，試證明：當”時，數列也具有“變換性質”。

Answer 1

（I）證明見解析。
（II）數列1，2，3，4，5具有“變換P性質”，
數列為3，2，1，5，4。
數列1，2，3，…，11不具有“變換P性質”
因為11，4都只有5的和才能構成完全平方數
所以數列1，2，3，…，11不具有“變換P性質”
（III）證明見解析。

（I）當時，                                      …………1分
    …………2分
又。                                             …………3分
所以是完全平方數，
數列具有“P性質”                                                                   …………4分
（II）數列1，2，3，4，5具有“變換P性質”，                              …………5分
數列為3，2，1，5，4                                                            …………6分
數列1，2，3，…，11不具有“變換P性質”     …………7分
因為11，4都只有5的和才能構成完全平方數
所以數列1，2，3，…，11不具有“變換P性質”                             …………8分
（III）設
注意到
令
由于，
所以
又

所以
即                                                                              …………10分
因為當時，數列具有“變換P性質”
所以1，2，…，4m+4-j-1可以排列成
使得都是平方數                                                  …………11分
另外，可以按相反順序排列，
即排列為
使得
                              …………12分
所以1，2，可以排列成

滿足都是平方數.
即當時，數列A也具有“變換P性質”…………13分