Question

（本小題滿分12分）如圖，在棱長為1的正方體中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF∥，截面PQGH∥．

（Ⅰ）證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

（Ⅱ）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，

并求出這個值；

（Ⅲ）若，求與平面PQEF所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）同解析（Ⅱ）截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值．（Ⅲ）．

解析:

解法一：

（Ⅰ）證明：在正方體中，，，

又由已知可得

，，，

所以，，

所以平面．

所以平面和平面互相垂直．  4分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知

，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是

，是定值．    8分

（Ⅲ）解：設交于點，連結，

因為平面，

所以為與平面所成的角．

因為，所以分別為，，，的中點．

可知，．

所以．   12分

解法二：

以D為原點，射線DA，DC，DD′分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標系D－xyz．由已知得，故

，，，，

，，，

，，．

（Ⅰ）證明：在所建立的坐標系中，可得

，

，

．

因為，所以是平面PQEF的法向量．

因為，所以是平面PQGH的法向量．

因為，所以，

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．  4分

（Ⅱ）證明：因為，所以，又，所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形．

在所建立的坐標系中可求得，，

所以，又，

所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值． 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．

由為中點可知，分別為，，的中點．

所以，，因此與平面所成角的正弦值等于

． 12分