Question

已知函數f（x）=x²+2ax-4，a∈R．
（1）若f（x）為偶函數，求a的值；
（2）若f（x）在[1，+∞）上為增函數，求a的取值范圍；
（3）f（x）在[1，2]內的最小值為g（a），求g（a）的函數表達式．

Answer 1

（1）∵f（x）=x²+2ax-4，∴若f（x）為偶函數，則f（-x）=f（x），
即x²-2ax-4=x²+2ax-4，
∴-2ax=2ax恒成立，判斷得a=0．
（2）∵函數f（x）=x²+2ax-4的對稱軸為x=-a，
∴要使f（x）在[1，+∞）上為增函數，則-a≤1，
∴a≥-1．
（3）f（x）=x²+2ax-4=（x+a）²-4-a²，對稱軸為x=-a．
①當-a＜1，即a＞-1時，f（x）在[1，2]遞增，
f（x）_min=f（1）=2a-3．
②當-a＞2，即a＜-2時，f（x）在[1，2]遞減，
f（x）_min=f（2）=4a．
③當-2≤a≤-1時，
f（x）_min=f（-a）=-4-a，．
綜上g(x)=

2a-3，a＞-1 -a2-4，-2≤a≤-1 4a，a＜-2

．